Vorige Mathraces

MATHRACE 2015-2016 EDITIE 2

Je kunt hier de opgaven vinden van de Mathrace editie II van 2015-2016. De uitwerkingen van de opgaves vind je hier. Veel succes met oefenen!

Opgave 1

Tijdens de Masterclasses georganiseerd door Pre-U op de Universiteit Twente kunnen leerlingen inhoudelijk kennismaken met alle aspecten van de universiteit. Veel leerlingen van de middelbare school gaan hier naartoe om zich te verdiepen in één van de vele onderzoekthema’s. Na een dag een masterclass gevolgd te hebben, zijn de leerlingen aan het eind van de dag doodop en klaar om weer naar huis te gaan. Net voor ze naar huis willen gaan komt de begeleider nog met een verassing. Hij zet een zak snoep op tafel en zegt dat de degene die raad hoeveel van elk soort snoepjes er in de zak zitten, de zak snoep mag meenemen. De begeleider geeft de leerlingen een paar aanwijzingen waarmee ze, in plaats van te gokken, het probleem zelfs zouden moeten kunnen oplossing:

  • De zak snoep weeg precies 1485 gram;
  • Er zitten drie soorten snoep in: kikkertjes van 2 gram, Salmiak lolly's van 5 gram en toffees van 8 gram;
  • Het aantal kikkers in de zak is twee keer zo veel als het aantal lolly's en toffees samen;
  • Er zitten twee keer zoveel toffees in de zak als lolly's.

Vraag

Hoeveel van elke soort snoep zit er in de zak? Je mag bij het beantwoorden van deze vraag het gewicht van de zak zelf verwaarlozen.

Opgave 2

Voor een van de themakampen van Pre-U wordt er door de begeleiders een houten kist gebouwd, om voorraad in op te slaan. Het geraamte van de kist heeft op een bepaald moment bovenstaande vorm (zijaanzicht). De oppervlakte van de grote rechthoek is precies 82.32cm, de lengte van de schuine zijde van het kleine driehoekje is 25cm, en het kleine driehoekje past precies 14 keer in de rechthoek met zijden a en c.

deelvraag 1 (0.7 punt)

Kun je een vergelijking afleiden, waarin alléén de variabele a voorkomt? De oplossing van deze vergelijking geeft je de waarde van a in bovenstaande figuur, maar is lastig om met pen en papier op te lossen. Als dit je wel lukt, is het alleen maar mooi natuurlijk!

Deelvraag 2 (0.3 punt)

De oplossing van de (indien correct afgeleid) vergelijking in deelvraag 1, is a=7cm. 
Wat zijn de waarden van b en c? 

Hint: Indien je op school nog niet de stelling van Pythagoras, en/of de gelijkvormigheid van driehoeken hebt bestudeerd, kijk dan eens naar de volgende twee wikipedia pagina’s: 


Stelling van Pythagoras
Gelijkvormigheid

Opgave 3

Een wetenschapper houdt tijdens een van de Masterclasses van Pre-U een praatje over de zonsverduistering waarin hij onder andere uitlegt hoe men een zonsverduistering kan voorspellen. Tijdens de pauze geeft hij de leerlingen een schematische weergave van een zonsverduistering met een vraag erbij.

Hieronder zie je het plaatje dat de wetenschapper aan de leerlingen heeft uitgedeeld.

Vraag

Gegeven is dat AB = 24 en DE = 20. Neem verder aan dat M het middelpunt van de Zon is in het plaatje hierboven, en de randen van de hemellichamen in de afbeelding elkaar precies raken in het punt C. Bereken de straal van beide cirkels.

Opgave 4 – Bonusvraag

Zoals vele kinderen, gaat ook de tweeling Eva en Carlijn met hun familie brunchen op eerste paasdag. Na het brunchen besluiten ze een potje RISK te spelen op het nieuwe bord dat ze hebben gewonnen met de Twentse Wiskunde Estafette, georganiseerd door Pre-U.

Op een gegeven moment besluit Eva een land van Carlijn aan te vallen met één leger, waarop Carlijn probeert te verdedigen met één leger. Om te bepalen wie het land krijgt waar om gevochten wordt, moeten ze beide één keer met hun dobbelsteen gooien. De aanvaller, Eva, gooit met een rode dobbelsteen en de verdediger, Carlijn, gooit met een blauwe dobbelsteen. Carlijn wint wanneer zij met haar blauwe dobbelsteen evenveel of meer ogen gooit dan Eva met haar rode dobbelsteen.

Vraag

Wat is de kans dat Carlijn dit gevecht wint van Eva?

Tip: Reken eerst de kans uit dat Carlijn wint als je weet wat Eva op dat moment gegooid heeft, en reken daarna uit wat de kans is dat én Eva dit aantal ogen daadwerkelijk gooit én dat Carlijn in dat geval wint. Gebruik dit om tot de gevraagde kans te komen.


Opgave 5

Tijdens het Techniek Meidenkamp van Pre-U wordt er op zondagavond een groot kampvuur gebouwd. Voor dit kampvuur zijn 15 takken nodig en de meiden en de begeleiders gaan op zondagmiddag op pad om de beste takken uit het bos te zoeken. Eenmaal teruggekomen bij de kamplocatie zijn er 15 bakken, die in een rij naast elkaar staan. De takken moeten in de bakken worden gedaan, maar er is een regel:

Alle bakken die leeg zijn na het verdelen van de takken over de bakken, moeten aan de rechterkant van de rij staan. Met andere woorden: Het mag niet voor komen dat een bak links van een gevulde bak, leeg is.

Vraag

Op hoeveel verschillende manieren kunnen ze de 15 takken verdelen over de 15 bakken, zodat de verdeling voldoet aan de regel? Het gaat hierbij alleen om het aantal takken in elke bak. Voor alle duidelijkheid: er mogen geen takken in het gras blijven liggen.

Opgave 6

Niek, Maschja, Leendert en Normen gaan voor Nederland meedoen aan de Internationale Wiskunde Olympiade, en zijn op Schiphol om het vliegtuig te pakken richting Hong Kong, waar de olympiade wordt gehouden. Ze geven allen netjes hun reiskoffer af bij de bagage balie. Niek heeft een blauwe koffer, Leendert een gele, Maschja een groene en Normen een zwarte. Het transport van de koffers op Schiphol naar de juiste vliegtuigen is een indrukwekkend en mooi netwerk van verschillende banen waarop de koffers vervoerd worden. Elke baan heeft een constante snelheid, maar deze constante snelheden variëren van baan tot baan. Hieronder is een momentopname van de koffers van Niek, Maschja, Leendert en Normen in het transportsysteem: 

Wanneer de banen overlappen, betekent het dat de ene baan zich boven de andere bevindt. Het toeval wil dat door de verschillende constante snelheden van deze vier transportbanen het volgende gebeurt:

  1. Er is een moment in tijd waarop de groene en de gele koffer zich precies boven elkaar bevinden
  2. Er is een moment in tijd waarop de groene en de blauwe koffer zich precies boven elkaar bevinden
  3. Er is een moment in tijd waarop de groene en de rode koffer zich precies boven elkaar bevinden
  4. Er is een moment in tijd waarop de gele en de rode koffer zich precies boven elkaar bevinden
  5. Er is een moment in tijd waarop de gele en de blauwe koffer zich precies boven elkaar bevinden

1)Er is een moment in tijd waarop de groene en de gele koffer zich precies boven elkaar bevinden

Het bord is zo ingedeeld dat elk pionnetje in een eindig aantal stappen op elk punt op het bord kan komen.

Opgave

Laat zien dat er een moment in tijd is waarop de blauwe en de rode koffer zich precies boven elkaar bevinden.

Opgave 7

Voor een spelletje wordt een aantal pionnen in de vierkantjes op een eindig rechthoekig bord geplaatst. Het is hierbij mogelijk dat er meer dan een pion op een vierkantje terecht komt. De zijkanten van elk van de vierkantjes op het bord is gelabeld als `geblokkeerd’ of `niet geblokkeerd’, en de buitenste rand van het bord is gelabeld als ‘geblokkeerd’. Je kunt bij elke stap in het spel kiezen uit links (L), rechts (R), onder (O) of boven (B). Wanneer je je keus gemaakt hebt, moeten voor zover mogelijk alle pionnetjes op het bord tegelijk in de gekozen richting worden verplaatst. Als de rand van een vierkantje waarop een pionnetje staat in de gekozen richting is gelabeld als `geblokkeerd’, dan wordt de pion niet verplaatst en blijft deze op hetzelfde vierkant staan. Als de rand is gelabeld als 'niet geblokkeerd’ dan wordt de pion in de gekozen richting verplaatst. Je mag zo vaak als je wilt een richting kiezen en alle pionnen proberen te verplaatsen.

Het bord is zo ingedeeld dat elk pionnetje in een eindig aantal stappen op elk punt op het bord kan komen.

Vraag:

Is het mogelijk een strategie te verzinnen zodat na een eindige reeks van gekozen richtingen alle pionnetjes op hetzelfde vierkantje staan? Zo ja, wat is deze strategie? Zo nee, waarom niet?

Opmerking: Het is bij deze vraag belangrijk een wiskundig goed onderbouwde uitwerking aan te leveren. Het is de laatste vraag van de Mathrace en er zal dus extra streng worden nagekeken om tot een winnaar te komen.