Vorige Mathraces

Mathrace 2015-2016 editie 1

Je kunt hier de opgaven vinden van de Mathrace editie I van 2015-2016. De uitwerkingen van de opgaves vind je hier. Veel succes met oefenen!

opgave 1

Afgelopen jaar vond de Twentse Wiskunde Estafette weer plaats, een wedstrijd waarin leerlingen uit 5VWO de uitdaging aangaan zoveel mogelijk wiskundige vraagstukken in een zo kort mogelijke tijd op te lossen. Jos deed samen met drie klasgenootjes mee aan de wedstrijd. Een van de drie klasgenootjes was jarig op de dag van de wedstrijd en trakteerde de groep na afloop op een stuk taart. Met de wiskundige vraagstukken nog in zijn hoofd keek Jos hoe de taart in stukken gesneden werd. Plots vraagt hij zich af wat er zou gebeuren als je oneindig vaak taartstukken van een taart zou blijven snijden, en of dit misschien gebruikt kan worden om de bekende formule voor oppervlakte van een cirkel te bewijzen.

Opgave A
Het blijkt dat Jos’ vermoeden klopt. Verdeel een cirkel met radius R op eenzelfde manier als hierboven in de figuur is geïllustreerd in driehoeken, en geef een formule voor de oppervlakte van de som van deze driehoeken als functie van het aantal driehoeken N.

Opgave B
Laat zien dat de oppervlakte van de cirkel verkregen wordt wanneer het aantal N naar oneindig gaat.

Opgave C
Laat op eenzelfde manier als hierboven zien dat de omtrek van een cirkel gelijk is aan 2πr

Hint: De functie sin(x) kan benaderd worden met behulp van een Taylorreeks rond het punt 0:

opgave 2

In het Nanolab van de Universiteit Twente is men aan het experimenteren met de botsingen van hele kleine deeltjes. De onderzoekers laten nanodeeltjes voortbewegen in een buisje waar ze nét in passen, en ze geen weerstand ondervinden. Dat wil zeggen, wanneer een deeltje een bepaalde snelheid meekrijgt, zal hij met die snelheid blijven voortbewegen in de buis.

Stap één van het experiment is bedoeld om te begrijpen hoe de deeltjes reageren wanneer ze tegen elkaar botsen. Aan beide kanten van de buis wordt een deeltje met snelheid x de buis ingebracht. Metingen wijzen uit dat de deeltjes bij de botsing precies elkaars energie overnamen, en dus na de botsing weer met snelheid x in tegengestelde richting de buis uitvlogen.

Opgave A
De onderzoekers vragen zich af hoe ze het beste een aantal deeltjes in de buis kunnen zetten, zo dat wanneer de deeltjes allemaal tegelijk met snelheid x een bepaalde richting in worden bewogen (waarbij de deeltjes niet allemaal in dezelfde richting hoeven te bewegen!), het zo lang mogelijk duurt totdat alle deeltjes de buis uit zijn gevlogen. 

Kun jij, door logisch te beredeneren, bewijzen dat er een optimale beginsituatie is, met een optimale verdeling van de richtingen? Geef deze beginsituatie en richtingen ook in je antwoord: teken de deeltjes op een horizontale lijn en geef met een pijl aan in welke richting ze in beweging moeten worden gebracht.

Opgave B
In stap 2 van het experiment worden de deeltjes geplaatst in een cirkelvormige buis; in zo’n buis kunnen ze niet naar buiten vliegen. Verder gelden er dezelfde omstandigheden als bij de horizontale buis. Om de deeltjes individueel te kunnen volgen, wordt elk deeltje gemarkeerd met een eigenschap die met een elektronenmicroscoop te zien is. De onderzoekers spelen wat met de deeltjes in de buis; meerdere keren worden er deeltjes in een beginsituatie gezet en vanuit die positie in verschillende richtingen met snelheid x in beweging gebracht. Ze doen een belangrijke ontdekking: In elk van de keren dat ze dit doen, ook wanneer ze het aantal deeltjes variëren, lijken de deeltjes in patronen te bewegen. De beginsituatie, waarbij elk deeltje met zijn eigenschap zich op een bepaalde plek in de buis bevindt, wordt tijdens het bewegen van de deeltjes namelijk precies weer aangenomen! 

Beredeneer dat, ongeacht het aantal deeltjes en de bewegingsrichtingen, de beginsituatie altijd opnieuw wordt aangenomen nadat de deeltjes in beweging zijn gebracht.

Belangrijk: In deze opgave nemen we aan dat de diameter van de nanodeeltjes verwaarloosbaar is in je berekening van afgelegde afstanden, tijd etc.


opgave 3

Tijdens de Wiskunde Zomercursus van Pre-U wordt er een middagje gezeild om even het hoofd leeg te maken. Amber is ook mee, en wil haar wiskunde skills ook tijdens het zeilen verbeteren. Ze daagt zichzelf uit door de hoogte van het schip in te schatten. Ze neemt de volgende vier dingen aan:

De grote gele driehoek (dus niet de twee kleinere gele driehoeken), is gelijkzijdig. Laat je niet misleiden door de tekening, deze is niet op schaal.

De twee scherpe hoeken van de romp van de zeilboot zijn 45 graden, en de mast van de zeilboot (de zwarte lijn die de grote gele driehoek door midden snijdt) staat loodrecht op het dek.

De onderkant van de romp is 10 meter lang.

De oppervlakte van de grote gele driehoek is drie maal zo groot als de oppervlakte van het zijaanzicht van de romp (dus het bruine gedeelte in het plaatje).

Amber weet nu hoe ze de hoogte h (zoals aangegeven op de tekening) kan berekenen. Lukt jou dat ook? Je mag in je berekeningen de abc formule gebruiken: https://nl.wikipedia.org/wiki/Wortelformule.


opgave 4

Christiaan en Anne zijn twee scholieren uit 3VWO. Omdat ze eigenlijk nog helemaal niet zo goed weten wat een bètastudie precies inhoudt, besluiten ze om een kijkje te gaan nemen op de Bètadag van Pre-U. Van hun docent hadden ze gehoord dat men op deze dag laat zien wat verschillende bètastudies precies inhouden, en dat je daardoor makkelijker een profielkeuze kan maken.

Na een dag vol informatie fietsen Christaan en Anne weer naar huis. Op de terugweg komen ze door een parkje met rechthoekige paden. Beide hadden ze die dag gehoord dat je met wiskunde heel veel kunt doen, zoals het berekenen van het aantal mogelijkheden dat er is om door het parkje te fietsen.

Het parkje is in de figuur hieronder weergegeven. De blauwe vakken zijn water en zijn dus niet begaanbaar (de randen wel). De groene vakken zijn gras en zijn begaanbaar over de zwarte rasterlijnen die zijn getekend. De bruine lijn is een brug over het water en is ook begaanbaar.

Vraag A
Als je aanneemt dat je alleen maar horizontaal naar rechts en verticaal omhoog over de rasterlijnen mag fietsen, op hoeveel manieren kun je dan vanaf het punt A naar het punt B fietsen in het parkje hierboven? Licht je antwoord toe.

Vraag B
Stel dat iemand willekeurig een route kiest om van A naar B te gaan, en elke route is even waarschijnlijk om gekozen te worden. Wat is dan de kans dat deze persoon over de brug zal fietsen en aan de bovenkant langs het meer gemarkeerd met een L zal gaan? Licht je antwoord toe en rond af op drie decimalen.

opgave 5

De Eureka!Cup is een landelijke ontwerpwedstrijd met een technologisch en (natuur)wetenschappelijk thema voor leerlingen uit de 1e t/m 3e klas van havo en vwo. Klas V31 van middelbare school Het Zonnetje wordt uitgenodigd om een proefje te doen op de campus van de Universiteit Twente, om daar punten te scoren voor de Cup. Het proefje gaat over de opbouw van atomen.

Een atoom heeft altijd een bepaald aantal elektronen dat rondom de kern circuleert. De leerlingen krijgen de opdracht om een atoom te creëren met zo veel mogelijk elektronen. Ze krijgen daarvoor toegang tot de “ elektron collider 3.0” die een merkwaardige functionaliteit heeft: Wanneer een atoom met x elektronen in de elektron collider 3.0 botst tegen een atoom met y elektronen, ontstaat er een nieuw atoom met x + y + x*y elektronen. Voor alle duidelijkheid: de twee atomen die botsten zijn nu verdwenen en gefuseerd tot het nieuwe atoom.

De leerlingen hebben aan het begin van het proefje de beschikking over 12 verschillende atomen: een atoom met 1 elektron, een atoom met 2 elektronen , … , een atoom met 11 elektronen en een atoom met 12 elektronen. De opdracht is om deze 12 atomen op zo’n manier met elkaar te laten botsen dat er aan het einde van het proefje nog maar één atoom over is, met zo veel mogelijk elektronen.

Welke atomen moeten de leerlingen met elkaar laten botsen? Je mag een atoom aanduiden door het aantal elektronen dat hij heeft. Uit atoom 3 en atoom 8 ontstaat dus atoom 35.

Wanneer je het grootst mogelijke aantal elektronen denkt te hebben gevonden, en het is correct, krijg je 0.5 punten. Als je ook nog eens kunt aantonen dat er geen andere tactiek is die een hoger aantal elektronen geeft, krijg je de resterende 0.5 punten. Let op: “trial and error” bewijzen worden niet geaccepteerd. Doe dit jezelf ook niet aan; dat kost alleen maar ontzettend veel tijd . 

Met “trial and error” wordt hier bedoeld dat je alle mogelijke tactieken afgaat en dan de beste uitkomst pakt. Deze methode hoeft overigens niet altijd fout te zijn. In een computer met veel rekenkracht kan zo’n methode soms toch een snelle uitkomst bieden. Officieel heet deze aanpak “Brute force”. Echter, veel van de hedendaagse problemen zijn zo complex dat brute force altijd te lang duurt, ook in een computer.

opgave 6

Elk jaar vindt er op de Universiteit Twente de Girlsday plaats, waar meiden van 10 tot 15 jaar kennis kunnen maken met bèta/techniek en ICT. Marieke en Lisanne doen mee aan de Girlsday en in de pauze hebben ze even wat tijd voor zichzelf. Ze besluiten een spelletje te spelen. Over een ruitjespapier waarop plakkertjes zitten wordt een knikker gerold. Als de knikker over een plakkertje rolt blijft het plakkertje aan de knikker vastzitten. Degene die uiteindelijk de meeste plakkertjes aan de knikkertjes heeft is de winnaar van het spel.

Alle plakkertjes zijn verdeeld over het ruitjespapier van 200x200 vakjes, maar ze bevinden zich alleen exact op de snijpunten van twee rasterlijnen. Neem aan dat de plakkertjes zo klein zijn, dat ze alleen aan de knikker blijven plakken wanneer deze precies over deze snijpunten van twee rasterlijnen rolt. Neem ook aan dat de knikker te allen tijde in een exact rechte lijn rolt (zijn pad wordt dus niet veranderd doordat hij over een plakkertje rolt). Tot slot mag je (uiteraard) aannemen dat meer dan één plakkertje aan de knikker kan blijven plakken.

Label de rasterlijnen op het papier met gehele getallen: het punt links onderin wordt (0,0), het punt rechts daarvan (1,0); het punt helemaal rechts bovenin wordt (200,200), het punt links daarvan wordt (199,200), enzovoorts.

Vraag A
Wanneer gegeven is dat een knikker vanaf (11,6) gerold wordt en dat de knikker over het plakkertje rolt dat zich bevindt op het punt (34,91), wat kun je dan zeggen over de plakkertjes op de volgende punten? Rolt de knikker hier wel of niet overheen en waarom? Probeer zo wiskundig mogelijk te blijven.

(42,93)
(37,95)
(57,176)

Vraag B
Beschrijf wiskundig (met een formule) het pad van de knikker. Gebruik breuken in je antwoord en rond dus niet af!

Vraag C
Het spelletje wordt nu een beetje aangepast. Het balletje wordt gerold vanaf het punt (0,0) helemaal links onderaan het papier. Op het papier staat nu een oneindig lange plank (de dikte is verwaarloosbaar) op de lijn x=40. Neem aan dat de knikker exact weerkaatst wordt wanneer deze met een vaart tegen de plank aankomt (ingaande hoek = uitgaande hoek). Men kan punten verdienen door de knikker tussen de punten (0,20) en (0,50) het papier af te laten gaan. Tussen welke punten moet de knikker de balk raken als je een punt wil verdienen?

opgave 7

Tijdens een van de Masterclasses van Pre-U, is er voor de leerlingen een onderwijsprogramma opgesteld waarin zij kennismaken met de kosmos. Eén van de onderwerpen die hier aan bod komen zijn de verschillende sterrenstelsels. Aan de hand van een denkbeeldig sterrenstelsel wordt een idee gegeven van de bewegingen van de planeten.

In het denkbeeldige sterrenstelsel bevinden zich de planeten Xi, Eta en Zeta. De planeet Zeta is te vergelijken met de zon, Eta met de aarde en Xi met de maan die rond de aarde draait. De planeet Eta roteert om haar eigen rotatie-as en rondom Zeta (zie figuur hieronder). Xi draait daarnaast nog rondom Eta. De baan van Eta rondom Zeta en van Xi rondom Eta zijn beide cirkelvormig. De rotatie-as van Eta staat loodrecht op de baan die deze planeet maakt rondom Zeta. Doordat de planeet Zeta een lichtbron is, ontstaan er op Eta een soort dagen.

Figuur 1: Illustratie van het denkbeeldige sterrenstelsel (boven aanzicht). De gestippelde cirkels zijn de banen die de planeten volgen.

Vraag A
Een dag op Eta is gedefinieerd als de periode dat de planeet erover doet om één omwenteling rondom zijn eigen rotatie-as te maken. Als een dag op Eta 20 uur duurt wat is dan de omwentelingssnelheid van deze planeet rondom zijn eigen rotatie-as? Druk je antwoord uit in radialen per seconde.

Vraag B
De baan b(t) van Eta rondom Zeta is cirkelvormig en kan worden beschreven door middel van een parametrische vergelijking met parameter t:

waarbij t een waarde tussen 0 en 2*pi kan aannemen. Met andere woorden: x-coördinaten van de punten op de baan zijn van de vorm R*cos(t) en de bijbehorende y-coördinaten zijn van de vorm R*sin(t).

Laat zien dat in dit geval de afstand van de kern van Eta tot de kern van Zeta gelijk is aan R.

Hint: 


De vraag hieronder is een stukje moeilijker dan de vragen hierboven. Je kunt met deze vraag in totaal niet meer punten dan het maximum (1.0) halen, maar als je de vragen hierboven niet helemaal goed hebt kun je alsnog op het maximaal aantal punten komen wanneer je de bonusvraag wel goed hebt.

Bonus:

Rondom Eta draait Xi, een planeet die te vergelijken is met de maan die rond de aarde draait in ons Melkwegstelsel. De baan van Xi rondom Eta is cirkelvormig, en de afstand van (de kern van) Xi tot (de kern van) Eta is in het begin A. Eén omwenteling van Xi om Eta duurt exact 40 uur.

Op een gegeven moment wordt de planeet Xi geraakt door een meteoriet waardoor de straal van de baan wordt verkleind van A naar A/2. De totale tijd van een omwenteling blijft 40 uur en verandert dus niet t.o.v. de situatie voordat de meteoriet insloeg.

Stel je voor dat iemand op Eta staat en het proces hierboven waarneemt. Druk de snelheid waarmee de waarnemer Xi ziet bewegen uit in de straal r van de baan van Xi rondom Eta (in m/s). Toon vervolgens aan dat de waarnemer Xi na de inslag twee keer zo traag ziet bewegen als ervoor.

Let op! Je mag voor het gemak aannemen dat Eta niet draait en dat de baan van Xi rondom Eta dus relatief t.o.v. de beweging van Eta is. Ook mag je aannemen dat in beide situaties de hoek waarmee de beweging van Xi wordt waargenomen zo klein is dat Xi over de rode lijn in de figuur hieronder lijkt te bewegen voor de waarnemer. Je hoeft dus slechts te laten zien dat de snelheid waarmee Xi over zijn cirkelvormige baan beweegt halveert.