Vorige Mathraces

MATHRACE 2014-2015 EDITIE 2

Je kunt hier de opgaven vinden van de Mathrace editie II van 2014-2015. De uitwerkingen van de opgaves vind je hier. Veel succes met oefenen!

Opgave 1

Veel van de workshops die Pre-U verzorgt voor middelbare scholieren, vinden plaats in De Horst. Dit is het hoogste gebouw op de Universiteit Twente.

Ruben en Joanan zijn glazenwassers, en elke maand hebben zij de taak om alle ramen van De Horst te wassen. Zo ook in december. Met z’n tweeën wassen ze alle ramen in 45 uur. In januari moet De Horst weer gewassen worden, maar Ruben is ziek, en z'n plaats wordt ingenomen door glazenwasser Niels. Niels en Joanan doen er 60 uur over. De griep blijft heersen, en in februari doet de situatie zich voor dat Ruben weer beter is, maar Joanan ziek is geworden. Allemaal niet handig, maar gelukkig kan Niels nog een keer invallen. Ruben en Niels wassen de Horst in 90 uur.

Om hun baas tegemoet te komen voor de ziekmeldingen in de maanden januari en februari, besluiten de drie glazenwassers om in maart met z’n drieën te gelijk alle ramen te wassen.

Vraag 

Hoeveel tijd kost het de drie mannen om in maart alle ramen van De Horst te wassen?

Je mag hierbij aannemen dat elk van de glazenwassers altijd in een eigen, constant tempo werkt, en dat dit tempo niet af hangt van de maand waarin ze werken.

Opgave 2

Voor een wiskunde themakamp van Twente Academy worden bij een groothandel blikjes fris besteld met het logo van Twente Academy erop. Om de kosten te drukken willen ze graag weten welke maat blikje ze moeten kiezen.

Bij de groothandel worden de maten blikjes aangeduid aan de hand van de straal van het blikje. Er zijn drie mogelijkheden voor de straal r: 1cm, 2cm of 4cm. De inhoud van het blikje is wel altijd gelijk aan 0,33L.

Vraag

Als je mag aannemen dat het blikje een perfecte cilinder is, wat is dan de formule voor de hoogte h van het blikje? Bedenk dat deze formule moet afhangen van de straal van het blikje, omdat de inhoud constant is.

Gegeven is dat de kosten k voor het blikje evenredig zijn met de hoeveelheid gebruikt materiaal. Gebruik de formule voor de hoogte uit vraag 1 om te bepalen welke straal het goedkoopst is voor het blikje van Pre-U. Motiveer je antwoord.


Bonus opgave

Tijdens de teambuilding activiteit van de Wiskunde Zomercursus van Pre-U, is een van de opdrachten om het avondeten uit een huisje te krijgen waarvan de deur op slot is gedaan. De groep leerlingen besluit om niet te proberen de deur open te krijgen, maar om in plaats daarvan het raam aan de rechterzijde van het huis open te wrikken, en via daar naar binnen te klimmen. Ze bouwen de volgende constructie om dat te bereiken:

Ze zetten dus een blauwe kubus tegen het huisje aan, en laten daarop een houten plaat rusten, die precies aan de onderkant van het raam tegen het huisje aan komt. Op die manier kunnen ze over de plaat naar het raam kruipen.

De begeleiders van de zomercursus zien hoe de leerlingen dit inventief hebben opgelost, maar zien ook gelijk weer een nieuwe, dit keer wiskundige, opgave voor de leerlingen: 

"Gegeven is dat de blauwe kubus ribben heeft van lengte 2.25m. De houten plaat heeft een lengte van 10m. Kunnen jullie de afstand van het huisje naar het punt waar de houten plaat het gras raakt berekenen?"

Opdracht

Aan jou dezelfde taak. Ga er bij je antwoord vanuit dat de grond perfect horizontaal loopt, en je mag verwaarlozen dat de houten plaat iets door het gras wordt opgetild. Ook mag je aannemen dat de onderkant van het raam zich niet hoger dan 3 meter boven de grond bevindt. Het is toegestaan om je grafische rekenmachine te gebruiken om tot het eindantwoord te komen. Mocht je dit niet hebben, schrijf dan de laatste vergelijking op, waarvan de oplossing volgens jou het eindantwoord is.

Voor deze opgave zijn in totaal 2 punten te verdienen. Mocht je niet helemaal tot het eindantwoord kunnen komen, lever dan toch in wat je hebt. Dit zou je een deel van de punten op kunnen leveren.

Opgave 3

Tijdens het MediCamp van Pre-U vertelt Harm vol trots over zijn hobby wielrennen. Harm heeft thuis ook een hometrainer om binnen te kunnen trainen als het buiten te koud is. Omdat Harm geen kilometerteller heeft maar wel wil weten hoe hard hij gaat op de hometrainer heeft hij het achterwiel geschilderd en bepaalt aan de hand van de snelheid waarmee het wiel ronddraait hoe hard hij gaat. Het achterwiel van de hometrainer ziet er als volgt uit:

Harm filmt het wiel wanneer hij aan het fietsen is en komt erachter dat hij nooit zeker kan weten hoe hard hij gaat door te kijken naar de snelheid waarmee de witte streep ronddraait. Ondanks deze tegenslag stelt Harm een formule op in de andere richting; als hij weet hoe hard hij gaat, hoe hard draait het wiel dan op het filmpje? De formule die hij opstelt is als volgt:

waarbij b het aantal beelden per seconden is die de camera maakt en r de straal van het wiel. De functie round(x) rond het getal af naar het dichtstbijzijnde gehele getal (een half wordt naar boven afgerond)

Vraag

  1. Laat zien dat het aantal omwentelingen van het wiel tussen twee opeenvolgende beeldjes gelijk is aan vwerkelijk/(2πrb). Hierbij is r de straal van het wiel en b het aantal beeldjes dat de camera per seconde maakt.

  2. Stel dat het aantal omwentelingen in werkelijkheid 4.3 is en je hier een filmpje van maakt. Als je nu het aantal omwentelingen in werkelijkheid gaat variëren, in welke gevallen zie je dan precies hetzelfde aantal omwentelingen in het filmpje terug als bij 4.3 omwentelingen?

  3. Leid met behulp van de vorige vragen de formule van Harm zelf af. 

Opdracht 4

Tijdens een Masterclass van Pre-U wordt er onder andere in groepjes aan opdrachten gewerkt. Stef is de begeleider van de Masterclass, en moet de groepjes indelen. 

Aan de Masterclass doen x leerlingen mee. Stef wil niet dat er deelnemers zijn die “over blijven”, maar wil er wel voor zorgen dat elke groep uit even veel deelnemers bestaat. Eerst probeert hij de xdeelnemers te verdelen over groepjes van twee, maar dan blijft er één deelnemer over. Vervolgens probeert hij het voor groepjes van 3, 4 , 5 en 6, maar telkens blijft er één deelnemer over!

In een laatste poging probeert Stef nu de x deelnemers te verdelen over groepjes van 7. En warempel, het lukt! Nu blijven er geen deelnemers over, en bestaan alle groepjes uit precies 7 deelnemers. 

Wat is in deze situatie het kleinste mogelijke aantal deelnemers aan deze Masterclass? Oftewel, wat is de kleinst mogelijke waarde voor x? 

Er zijn veel manieren om deze opgave op te lossen. Elke goede oplossing geeft je de volle punten, met uitzondering van de “uitprobeer” oplossing, waarbij je alle gehele getallen één voor één nagaat, en kijkt of het voldoet aan de eigenschappen van x. 


Opgave 5

Tijdens een activiteit van Pre-U lopen Rob, Ruben en Sjoerd met een groep leerlingen over de campus. Rob en Sjoerd lopen aan de voorkant van de groep en Ruben loopt achteraan. De groep loopt 6 km/u. Ruben is echter eigenwijs en voelt wat minder drang om hard te lopen; hij loopt met 4km/u achter de groep aan.

Op een gegeven moment krijgen Rob en Sjoerd een meningsverschil en besluiten dat Ruben moet bepalen wie gelijk heeft. Terwijl Rob met 5 km/u naar Ruben loopt, zegt Sjoerd tegen de groep dat ze met dezelfde snelheid (6 km/u) door moeten blijven lopen. Omdat Sjoerd echter ook benieuwd is naar het oordeel van Ruben besluit hij met 2 km/u naast de groep te gaan lopen op het moment dat Rob naar Ruben begint te lopen, zodat hij kan horen wat Ruben te zeggen heeft. Nadat Ruben zijn mening heeft gegeven loopt Rob weer naar Sjoerd toe.

Vraag

Neem aan dat Rob niet bij Ruben blijft wachten en meteen weer omdraait, en dat het omdraaien geen tijd kost. Noem de afstand tussen de voorkant en de achterkant van de groep L en ga er vanuit dat deze constant is. Druk de totale tijd dat Rob erover doet om weer terug bij Sjoerd te komen uit in L.

Hint: Stel dat Rob t seconden loopt, hoeveel kilometer legt de rest dan af? Schets de situatie en bepaal de onderlinge afstanden.


Opgave 6

Een techniek leraar op een middelbare school vindt het belangrijk dat jongeren leren om met hout, schroefjes, spijkers en een zaag mooie dingen in elkaar te zetten. Dit komt later altijd van pas. Daarom besluit hij om een wedstrijd te organiseren waarbij zijn leerlingen binnen een uur een zo mooi mogelijk en nuttig object in elkaar moeten zetten. Natuurlijk voorziet hij de leerlingen van de benodigde materialen. Om kosten te besparen, maakt hij de schroefjes die de leerlingen gaan gebruiken, zelf. Hij bestelt bij een groothandel een grote lading aan metalen staafjes van 10cm lang en hij maakt van elk staafje drie schroefjes. Dit doet hij door elk metalen staafje op drie willekeurige plekken door te zagen, en vervolgens de drie kleine staafjes van schroefdraad te voorzien. De drie schroefjes stopt hij vervolgens in een klein zakje. Op de tafel van elk groepje legt hij flink wat van die zakjes neer; als een leerling dan een bepaalde schroeflengte nodig heeft, is de kans groot dat er in een van de zakjes een schroefje zit die voldoet. 

  1. Siemen doet mee aan de wedstrijd, en pakt een zakje met drie schroefjes. Hoe groot is de kans dat geen van die drie schroefjes langer is dan de som van de lengtes van de andere twee schroefjes uit dat zelfde zakje? 

  2. De techniek leraar heeft één metalen staafje op één willekeurige plek doorgezaagd, en vervolgens de langste van de twee daardoor ontstane staafjes weer op een willekeurige plek doorgezaagd. Jurgen, een andere deelnemer, pakt precies het zakje waar die drie schroefjes in terecht zijn gekomen. Hoe groot is de kans dat Jurgen in dát zakje geen schroefje vindt die langer is dan de som van de lengtes van de andere twee in dat zakje? Ga er hierbij vanuit dat je de lengte van het langste staafje dat is ontstaan uit de eerste keer doorzagen, weet. Noem deze lengte x.

Opgave 7

Dichtbij de locatie van de Wiskunde Zomercursus van Twente Academy ligt een park waar leerlingen kunnen wandelen als ze even klaar zijn met alle wiskunde. De plaatselijke gemeente heeft het idee om een buitenste rand rond het park toe te voegen waarop hardgelopen kan worden. Ze willen het pad 2 meter breed maken. Om voldoende materiaal te kunnen bestellen moeten ze echter weten wat de oppervlakte zal worden van het nieuwe hardlooppad rond het park en ze besluiten de leerlingen van de cursus om hulp te vragen.

Het park is een gelijkzijdige driehoek met een oppervlakte van 30000 en met M het middelpunt van de omgeschreven cirkel. De buitenste rand van het hardlooppad is eveneens een gelijkzijdige driehoek en de zijden van het hardlooppad parallel aan de zijde van het park liggen 2 meter uit elkaar (zie schets hieronder).

Vraag

Wat zal de (exacte) oppervlakte worden van het hardlooppad dat de gemeente wil aanleggen?

Hint:Bewijs eerst dat in een gelijkzijdige driehoek de bissectrice van een hoek ook een middelloodlijn is van de tegenover gelegen zijde. Wat kun je daarnaast zeggen over het snijpunt van de middelloodlijnen?

Opmerking: Je hoeft geen uitgebreid bewijs te geven van elke stelling die je gebruikt, het bewijzen van het eerste deel van de hint is voldoende.


Opgave 8

Gegeven zijn 5 cilinders, zoals hierboven aangegeven. In elk van de vijf cilinders zit een andere vloeistof, gekenmerkt door hun dichtheid. In cilinder A bevindt zich de blauwe vloeistof, en de cilinder is gevuld tot een hoogte (h) van 100m, met een diameter van 40m. De gegevens voor de andere 4 cilinders zijn aangegeven in de afbeelding. De dichtheden (in kg/m3) van de vloeistoffen zijn gegeven in onderstaande tabel.

Vloeistof

Dichtheid 

Blauw

2

Rood

10

Groen

1

Geel

3

Paars

5


Om verwarring te voorkomen: In de beginsituatie bevindt zich in cilinder A uitsluitend blauwe vloeistof, in cilinder B uitsluitend rode vloeistof, etc. 

Nu komt het: er worden buisjes met een inhoud van 0.5 m3 geplaatst, die de bodems van cilinder A en B verbinden, de bodem van cilinder B met de bodem van C, de bodem van cilinder C met de bodem van D, en ten slotte de bodem van cilinder D met de bodem van cilinder E. In totaal zijn dit dus vier buisjes. Op deze manier zijn dus opeens alle cilinders ( direct of indirect) met elkaar verbonden. De natuurkunde doet nu haar werk, en vloeistoffen beginnen van de ene naar de andere cilinder te stromen. De druk op bodem A is in het begin bijvoorbeeld veel hoger dan de druk op bodem B, waardoor er blauwe vloeistof cilinder B in begint te stromen. 

Stel je voor dat we nu zo lang wachten, dat er een evenwichtssituatie ontstaat (er zijn dan geen vloeistoffen meer in beweging). In deze evenwichtssituatie mag je ervan uitgaan, dat alle vloeistoffen homogeen met elkaar vermengd zijn geraakt: de vloeistof in E is niet meer te onderscheiden van die in A. 

Wat zijn de volumes van de vloeistoffen in deze evenwichtssituatie? Noem het volume van de vloeistof in cilinder A VA , het volume in cilinder B V, etc. 

Maak in je berekening gebruik van natuurkundige formules:
http://nl.wikipedia.org/wiki/Hydrostatische_druk

Bonus opgave voor de liefhebber

Bereken bij vraag (b) dezelfde kans, maar nu in de situatie dat je de lengte van het langste metalen staafje dat is ontstaan uit de eerste keer doorzagen, niet weet (x ligt dan dus willekeurig tussen 5 en 10 cm). De uitkomst is een getal, dus niet meer afhankelijk van x

Voor (a) en (b) zijn beide een half punt te verdienen. Voor de bonusvraag kun je geen punten verdienen, omdat je om de uitkomst er van te berekenen, een integraal moet uitrekenen. Voor sommigen van jullie is dat nog niet behandeld in de wiskunde lessen. Maar vraag je wiskunde leraar er maar eens naar, als je het interessant vindt om te weten wat het antwoord op de bonus opgave is. Misschien kan hij je al iets over integralen uitleggen. Het antwoord op de bonus vraag komt natuurlijk ook in de uitwerking te staan die volgende week online komt.