Vorige Mathraces

Mathrace 2014-2015 Editie 1

Je kunt hier de opgaven vinden van de Mathrace editie I van 2014-2015. De uitwerkingen van de opgaves vind je hier. Veel succes met oefenen!

Opgave 1

Ook op het MediCamp van Pre-U kan een kampvuur natuurlijk niet ontbreken. De leiding hakt het hout, en Ruben krijgt samen met wat anderen de opdracht om de zo ontstane, cilindervormige stukken hout netjes op te stapelen in de schuur. Het schuurtje is vrij smal, zoals hieronder in de tekening is aangegeven; op de onderste rij passen er net geen vier. Dit is een vooraanzicht van de schuur. Zoals je ziet heeft Ruben met zijn vrienden de stukken in rijen van drie en twee boven elkaar gestapeld. Toen hij de laatste rij neerlegde, zag Ruben iets vreemds: elke rij boven de onderste ligt schuin, maar de bovenste rij is weer perfect horizontaal! 

vraag


Kun jij bewijzen dat in deze situatie, de bovenste laag houtstukken altijd horizontaal ligt (dus op een lijn die een rechte hoek maakt met de zijkant van de schuur), ook al rollen we het stuk hout midden in de onderste rij wat naar links of rechts? 

Je mag er bij het oplossen van dit vraagstuk vanuit gaan dat de houtstukken een perfecte cilindervorm hebben, met allen dezelfde afmetingen. Wanneer je twee cirkels tegen dezelfde rand van de schuur ziet liggen, dan liggen die middelpunten van deze cirkels op een lijn. Verder zijn de twee onderste hoeken van de schuur precies 90 graden.

Hint: http://nl.wikipedia.org/wiki/Stelling_van_Thales_(cirkels)


Opgave 2

Een rij van 40 leerlingen wacht bij een dicht lokaal op hun docent. Alle leerlingen hebben van hun mentor een vaste plaats gekregen waar zij zitten gedurende de lessen. Iedereen houdt zich aan de afgesproken plattegrond, op één brutale leerling na: Bruut Aalderink. Bruut kruipt altijd voor in de rij, waardoor hij altijd als eerste leerling het lokaal binnen gaat. Aangezien Bruut het niet eens is met de indeling van de mentor, kiest hij altijd willekeurig een plaats uit alle plaatsen behalve zijn eigen om te gaan zitten.

De andere leerlingen betreden na Bruut één voor één voor het lokaal, en gaan zitten op hun eigen plaats als deze nog vrij is. Als de plek bezet is kiezen ze willekeurig een vrije plaats in het lokaal om te gaan zitten.

Vraag:

Hoe groot is de kans dat de leerling die helemaal achteraan de rij staat op de plaats kan gaan zitten die hem is toegewezen door zijn mentor?

Hint: Bedenk dat het proces waarbij leerlingen willekeurig een stoel moeten kiezen als hun eigen stoel bezet is goed afloopt als iemand op de stoel van Bruut gaat zitten.


opgave 3

In Belgisch Limburg is men erg fanatiek in hardlopen. Dit zie je al op de basisscholen: elke basisschool in Belgisch Limburg stuurt zijn beste leerlingen naar de interscholaire hardloopwedstrijd, die dit jaar plaatsvindt op maandag 27 oktober te Hasselt. In totaal nemen 15 scholen deel aan de wedstrijd. Deze sturen elk respectievelijk 1,2,3,... en 15 leerlingen.

De organisator van de wedstrijd heeft de verantwoordelijkheid het speelschema op te stellen. De wedstrijd wordt niet in één keer gelopen, maar in verschillende rondes waaraan niet noodzakelijk elke school deelneemt. Elke leerling loopt maximaal één ronde. Om het eerlijk te houden, nemen elke ronde evenveel leerlingen van elke basischool het tegen elkaar op. Dus bijvoorbeeld: als basisschool Termolen maar 1 leerling naar de wedstrijd stuurt, en deze leerling wordt ingedeeld in de eerste ronde, dan kan er ook maximaal 1 leerling van basisschool de Zonnewijzer meedoen aan de eerste ronde, ook al heeft de Zonnewijzer meerdere leerlingen naar de wedstrijd gestuurd. De overige leerlingen van de Zonnewijzer worden dan over de andere rondes verdeeld.

Vraag

Hoe verdeelt de organisator de leerlingen over zo weinig mogelijk rondes, wanneer hij voor elke ronde een willekeurig aantal scholen mag kiezen die het tegen elkaar opnemen?

opgave 4

Op een Open Dag van de Universiteit Twente is er voor de middagpauze door Pre-U een groot vat ice tea geregeld van 12 liter. Veel leerlingen hebben dorst gekregen na het bekijken van verschillende studies, en besluiten wat drinken te gaan halen.

Joris, een medewerker van Pre-U, bedient het vat. Omdat alle leerlingen in een keer naar het vat toe komen besluit Joris een kan te tappen en de kan aan de leerlingen te geven zodat ze zelf de ice tea sneller kunnen verdelen.

Gezien het vele commentaar van de leerlingen op de zoetheid van de ice tea, besluit Joris een kan water in het vat te gooien. Hierna schudt hij het vat om te zorgen dat het water goed met de ice tea mengt, en vervolgens deelt hij nog een kan uit om de overige leerlingen van ice tea te voorzien. De ice tea blijkt nog steeds veel te zoet, en Joris besluit nog een kan water in het vat te gooien.

Na de tweede kan water te hebben toegevoegd is de verhouding ice tea:water precies 1:11 in het vat.

Vraag

Wat is de inhoud van de kan, als de verhouding ice tea:water 1:5 was voordat Joris de twee kannen water in het vat gooide?

Je mag er bij deze vraag van uitgaan dat na het schudden van het vat door Joris de oplossing in het vat weer homogeen (perfect) gemengd is.


opgave 5

Tijdens een van de Bètadagen van Pre-U wordt een uitje naar de luchtverkeersleidingstoren van luchthaven Schiphol georganiseerd. Naast het interessante bezoek aan de toren, krijgen de deelnemers ook nog een algemene rondleiding op Schiphol. De gids vertelt over de enorme omvang van de luchthaven, en dat dat voor een reiziger eigenlijk helemaal niet handig is: om van de incheckbalie naar je vliegtuig te komen, moet je soms namelijk lange afstanden afleggen. Maar, zo laat de gids zien, Schiphol helpt de reizigers een handje door de aanleg van enorme loopbanden die vanuit de incheckbalie met een constante snelheid naar de vertrekplaatsen van de vliegtuigen bewegen.

Anke is mee met het uitje, en vindt de verleiding erg groot om eens zo’n loopband uit te proberen. De gids laat Anke om 14:30u op een loopband stappen. Ze heeft alleen een beetje pech; ze staat aan de “verkeerde” kant van de loopband, waardoor ze tegen de richting van de loopband in zal moeten lopen. Maar ze is niet lui, en terwijl de loopband haar beweegt, loopt ze zelf met een constante snelheid c richting de incheckbalie. Haar netto snelheid terwijl ze naar de incheckbalie loopt is nu dus gelijk aan c minus de snelheid van de loopband. Om 14:32u komt Anke aan bij de incheckbalie, en precies daar, nog net op de loopband, laat ze haar bril vallen! Aangezien ze echter toch terug naar de groep moet, en de bril vanzelf met de loopband mee zal worden gevoerd richting de groep, raapt ze de bril niet op maar loopt ze om 14:32 over dezelfde loopband terug naar de groep, nu dus met een eigen snelheid c plus de snelheid van de loopband. Om 14:33u is ze al weer terug bij de groep. 

Vraag

Hoe lang moet Anke nu nog wachten op haar bril?

opgave 6

Een Masterclass begeleider is op een avond de gemaakte opgaven van de wiskunde Masterclass van die dag aan het nakijken. Het verbaast hem dat er vrij veel fouten zijn gemaakt bij het berekenen van nulpunten van een tweedegraads polynoom, en besluit dat hij de volgende masterclass een aantal vragen voor zal doen op het bord. Om werk te besparen wil hij graag van te voren bekijken hoe hij snel veel verschillende vragen van dit type kan maken. Een extra eis die hij stelt om het niet te moeilijk te maken, is dat de polynomen alleen gehele getallen als coëfficiënten en nulpunten mogen hebben.

Het komt er dus op neer dat hij wil weten hoeveel verschillende functies van de vorm

mogelijk zijn, zodanig dat a, b, c, en de nulpunten van deze polynoom gehele getallen zijn. Vanwege zijn voorliefde voor kwadratische combinaties, wil de docent ook dat de functies door de punten (0;0) en (20;400) gaan.

Vraag

Bepaal algebraïsch (dus niet trial & error) het aantal functies dat aan bovenstaande voorwaarden voldoet. Maak vervolgens een overzicht van alle mogelijkheden (a, b, c, en nulpunt).

In de wiskunde wordt de stelling ‘a behoort tot de verzameling van gehele getallen’, op de volgende manier opgeschreven: . Je mag deze notatie gebruiken bij het beantwoorden van de vraag.


opgave 7

Joep is een van de begeleiders van de Wiskunde Zomercursus van Pre-U. Hij is erg gretig om te helpen, dus loopt hij voortdurend heen en weer, ijsberend langs een van de zijkanten van het lokaal, hopend dat een van de leerlingen hem een vraag stelt. Laten we één zo’n wandeling van Joep eens nader onderzoeken. We nemen de twee hoekpunten van het lokaal waar Joep tussen loopt, en we noemen ze A en B. De afstand van A naar B is ons bekend: 20 meter. We timen wanneer Joep bij hoekpunt A is, en letten dan op hoe lang het duurt voordat Joep bij B is. Het blijkt dat hij er 100 seconden over heeft gedaan. We kunnen nu concluderen dat zijn gemiddelde snelheid over het interval [A,B] , 0.2 meter per seconde was, maar Joep heeft tijdens zijn wandeling van A naar B nog wel een beetje heen en weer ge-ijsbeerd. 


Bewijs dat er een aaneengesloten stuk van 10 meter bestaat tussen A en B, wat Joep in precies 50 seconden heeft afgelegd. 

Hint: Zijn gemiddelde snelheid over dit stuk van 10 meter, was dus ook 0.2!


opgave 8

Zoals elk jaar, werd er ook dit jaar weer een Bètadag georganiseerd door Pre-U. Door middel van deze dag kunnen scholieren uit (met name) 3VWO een kijkje nemen op de universiteit en ontdekken hoe leuk bètastudies zijn. Dit jaar was de opkomst heel hoog en zijn er maar liefst 251 leerlingen naar de dag gekomen.

Na de rondleiding is het op een gegeven moment tijd voor een demonstratie. Een begeleider neemt hiertoe het woord, en de leerlingen gaan in een grote kring om hem heen zitten zodat iedereen het even goed kan horen.

Allereerst krijgen alle leerlingen een nummer toegewezen: één leerling wordt aangewezen als nummer 1, degene rechts naast hem/haar krijgt nummer twee, degene rechts daarnaast krijgt nummer 3, etc. Vervolgens vraagt de begeleider de leerlingen om de letters A,B en C achtereenvolgens op te noemen. Leerlingen die B of C noemen dienen op te staan en de cirkel te verlaten. De leerlingen behouden hierbij wel het nummer dat ze in het begin gekregen hebben. Dit proces herhaalt zich, en stopt wanneer er nog maar precies één leerling over is gebleven. Ter illustratie hieronder een voorbeeld.

In het geval dat er 11 leerlingen zijn gaat het zoals hieronder is geïllustreerd. De leerlingen beginnen in de eerste ronde (links) achtereenvolgens met zeggen A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,B. Nu blijven alleen de leerlingen 1,4,7 en 10 nog over voor de volgende ronde. Aangezien leerling 11 B zei, zal leerling 1 nu C zeggen. De tweede ronde (rechts) zeggen de leerlingen 1,4 en 7 dus respectievelijk C,A,B en C. Leerlingen 1,7 en 10 worden verwijderd en leerling 4 blijft als enige over.

De begeleider beweert dat hij van te voren heeft berekend welke leerling er over zou blijven. Om zijn bewering kracht bij te zetten heeft hij het nummer van de leerling op de achterkant van een blaadje geschreven dat hij tijdens de gehele demonstratie in zijn broekzak had. Aan het eind van de demonstratie onthult de begeleider wat hij heeft opgeschreven, en het nummer blijkt overeen te komen met het nummer van de leerling die is overgebleven.

Vraag

Welk nummer stond er op de achterkant van het blaadje, en hoe heeft de begeleider dit berekend?

Hint: Bekijk wat er gebeurt wanneer het aantal leerlingen in de kring een macht van drie is.


Opgave 9

In de avonduren van de themakampen van Pre-U doen Patrick en Issam samen een spelletje tegen Peter. Peter denkt dat hij geld kan verdienen. Hij heeft drie bekers en drie balletjes. De bekers zijn genummerd: 1, 2 en 3. Elk balletje heeft een eigen kleur: blauw, groen en rood. Peter stelt de volgende spelregels voor aan Patrick en Issam: 

  1. Patrick moet de blauwe bal zien te vinden, en Issam de groene bal.

  2. Voordat het spel begint, stopt Peter onder elke omgekeerde beker een balletje, zonder dat Patrick en Issam mogen kijken.

  3. Pim begint, en mag twee keer achter elkaar raden onder welke beker hij denkt dat de blauwe bal ligt. Terwijl Patrick aan het raden is moet Issam de zaal verlaten, zodat hij niet mee kan kijken. Nadat Patrick geweest is, mag Issam twee keer achter elkaar raden onder welke beker hij denkt dat het groene balletje ligt. Intussen worden de balletjes niet verwisseld. Patrick moet ook de zaal verlaten wanneer Issam aan het raden is, zodat hij geen tips kan geven aan Issam.

  4. Peter zet 10 euro in, en Patrick en Issam beide 5 euro. Als Patrick en Issam er niet beide in slagen te raden onder welk bekertje hun balletje zit, krijgt Peter al het geld. Weet Patrick echter het blauwe balletje te vinden, en Issam de groene, dan krijgen Patrick en Issam al het geld.

Peter denkt:

Patrick heeft 2/3 kans om het blauwe balletje te vinden, en Issam heeft 2/3 kans om het groene balletje te vinden. Dus de kans dat het ze beide lukt, is (2/3)*(2/3) = 4/9. Peter denkt dus dat hij een kans van 5/9 heeft om te winnen. 

Als Issam en Patrick echter van te voren een strategie afspreken, kunnen ze ervoor zorgen dat ze een kans van 2/3 hebben dat ze beide winnen. Zo zijn ze Peter dus vaak te slim af!

Kun jij zo’n strategie bedenken?
 

Opgave 10

Na een lange dag bij de Twentse Wiskunde Estafette, een wiskunde wedstrijd op de Universiteit Twente waarbij je in een zo kort mogelijk tijd zoveel mogelijk vragen moet beantwoorden met je team, stapt Erik weer op de trein terug naar zijn ouders. Eenmaal in de trein tuurt Erik een beetje uit het raam naar de bomen in de verte, tot hij plots opschrikt van een boom die langsflitst omdat deze heel kort bij het spoor staat. Om te voorkomen dat hij nog een keer zal schrikken kijkt hij vooruit of er nog meer bomen of andere dingen dichtbij het spoor staan. Een eindje verder staan wat masten naast het spoor, en op het moment dat de trein langs de masten rijdt valt het Erik op dat objecten dicht bij het spoor veel sneller langs lijken te komen dan de objecten ver weg.

Vraag

Bewijs dat het in het algemeen inderdaad het geval is dat objecten op kortere afstand relatief sneller langs lijken te komen dan objecten op grote afstand.

Hou hierbij rekening met het feit dat er geen verdere informatie wordt gegeven over de situatie van Erik en dat in het antwoord dus ook verwacht wordt dat het algemeen gehouden wordt (een voorbeeld geven waarin je laat zien dat het inderdaad zo is voldoet niet).

Hint: Maak een schets van de situatie met daarin ook het gezichtsveld van Erik, en bedenk vervolgens wat het betekent als een object snel langskomt.