Opgaves

Opgave 5

Gegeven een gelijkzijdige driehoek met zijdes met lengte x, beginnen we aan een iteratief proces. In dit proces wordt elke zijde van de figuur in drieën verdeeld, en vervolgens wordt er een nieuwe gelijkzijdige driehoek op het middelste stuk van deze zijde geplaatst. Zie de figuren hieronder. Links de driehoek waar we mee beginnen, vervolgens het resultaat na de eerste stap, en tot slot het resultaat na de tweede stap.

 

 Vraag:

a)      Druk de omtrek P(N) na de N-de stap in het proces uit in de lengte x van de zijden in de eerste driehoek. Je kunt hiervoor eerst proberen P(N) in P(N-1) uit te drukken.

b)      Als je het proces dat hierboven beschreven staat oneindig vaak herhaalt, is het dan mogelijk dat de omtrek 10 keer wordt vergroot ten opzichte van de omtrek van de eerste driehoek? Zo ja, na hoeveel stappen gebeurt dit? Zo nee, waarom niet? Gebruik in je antwoord de formule die je bij a) gevonden hebt.