Wiskunde

meetkunde met cabri


Inleiding

Het plaatje hierboven laat een foto zien van een rechthoekig (niet vierkant) gebouw. Zoals je ziet, heeft de fotograaf een zodanige positie gekozen dat op de foto de lange en de korte zijde van het gebouw ongeveer even lang zijn.

Op de afbeelding hier rechts staat een schematisch bovenaanzicht, waarin het punt X een mogelijke positie van de fotograaf voorstelt.

De vraag is nu: hoe ziet de verzameling van punten er uit, vanwaar de twee zijden OP en OQ van de rechthoek als even lang worden gezien?

Met het computerpakket Cabri is het antwoord op deze vraag te vinden. Daarbij wordt gebruikt dat voor een geschikt punt X de hoek OX P gelijk is aan de hoek OXQ.

Maak de volgende Cabri-constructie zelf op de computer:

Teken eerst een rechthoek POQR en dan een cirkel rond O en door Q. Kies op die cirkel een willekeurig punt Y en bepaal vervolgens het snijpunt X van lijn Y P met de middelloodlijn van PQ.

De volgende figuur laat deze Cabri-constructie zien. De punten X liggen volgens Cabri op een mooie kromme.

Inleidende vragen/opdrachten:

Welk gedeelte van de kromme is voor de fotograaf van belang?

Geldt voor elk punt X op de kromme dat hoek OX P gelijk is aan hoek OXQ?

Met deze Cabri-constructie krijg je helaas nog niet alle punten X waarvoor de hoeken OX P en OXQ elijk zijn. Welke punten ontbreken nog?

Waar moet Y liggen om X op de posities P, O, Q en ‘oneindig ver' te krijgen?

Onderzoek wat er gebeurt met de kromme wanneer de vorm van de rechthoek verandert. In het geval dat de rechthoek een vierkant is, splitst de kromme zich in  een lijn en een cirkel. Welke lijn en cirkel?

Waarom?

Wat gebeurt er rond het overgangsmoment? Sleep Y naar Q en beargumenteer dat de raaklijn in Q aan de kromme evenwijdig is aan diagonaal OR.

Laat op soortgelijke manier zien dat de raaklijn in P evenwijdig is aan OR en dat de twee raaklijnen in O de binnen- en buitendeellijnen zijn van hoek POQ.

Kies een handig coordinatenstelsel en leidt vergelijkingen af voor de kromme en voor zijn asymptoot (!)

Onderzoeksvragen

Meetkundige plaats bepalen (cirkel)
Bepaal de meetkundige plaats van de punten van waaruit men een gegeven cirkel onder een hoek van 120 graden ziet. Bepaal een vergelijking van deze puntenverzameling door gebruik te maken van een geschikt coördinatenstelsel.

Meetkundige plaats (vierkant)
Voer hetzelfde uit voor een vierkant in plaats van een cirkel.

Meetkundige plaats construeren
Van twee cirkels (M, r) en (N, r) zijn de middelpunten M en N vast. Door hun straal r te variëren, maar wel zo dat 2r < d(M, N) ontstaan cirkelbundels. Construeer de meetkundige plaats van waaruit men (M, r) n (N, r) onder een rechte hoek ziet.

Vergelijking meetkundige plaats (parabool)
Een parabool is een conflictlijn tussen een (brand)punt F en een (richt)lijn l. Voer met Cabri de constructie van zo’n parabool uit. Voer geschikte coördinaten in en leid een vergelijking van de parabool af. Neem twee punten P1 en P2 op de parabool zodat T P1 loodrecht staat op T P2; hierbij is T de top van de parabool. Construeer vervolgens raaklijnen aan de parabool in P1 en P2, deze snijden elkaar in S. Vind de vergelijking voor de meetkundige plaats van S (als P1 varieert).

Vergelijkig meetkundige plaats (ellips, hyperbool)
Is de vorige opdracht uit te breiden tot andere kegelsneden zoals de ellips en de hyperbool?

Vergelijkingen voor cissoden
Cabri genereert via constructies vaak algebraïsche krommen. Als voorbeeld onderzoeken we de cissode. Eerst de algemene definitie: gegeven zijn twee krommen k1 en k2 en een rotatiecentrum P. Een rechte lijn door P snijdt k1 in B en k2 in G. Op de lijn PB kiezen we A tussen P en B zodat PA = BG en A aan dezelfde kant van P als B. De meetkundige plaats van de punten A bij variërende B over k1 is een cissode. Onderzoek het geval waarin k1 een cirkel en k2 een lijn is. Neem eerst P op k1 zodat PM loodrecht op k2 staat (M=middelpunt van k1). Verander vervolgens de positie van k2. Onderzoek ook het geval dat k1 n k2 cirkels zijn. Vind bij deze cissoden vergelijkingen door het kiezen van geschikte coördinaten.