Wiskunde

het getal pi


Inleiding

Getal pi, weergegeven door de Griekse letter π, ken je vanuit de wiskunde. Het wordt gebruikt bij de berekening van cirkels en vormen die gebaseerd zijn op cirkels, zoals ellipsen, bollen, cilinders en kegels. Pi is de verhouding tussen omtrek en middellijn van een cirkel. Het getal heeft de waarde 3,14159. Dit is niet exact, want er zijn oneindig veel getallen achter de komma: de breuk is oneindig.

Geschiedenis 

Al heel vroeg had men door dat een vaste waarde noodzakelijk is om te rekenen aan cirkels. De Babyloniërs namen in de 19e eeuw voor Christus voor pi de breuk 25/8. Dit ligt maar 0,5% naast de juiste waarde. Archimedes begon wiskundig de waarde te berekenen doormiddel van rechthoeken binnen en buiten een cirkel te nemen. Hij kwam tot een nauwkeurigheid van 4 decimalen en een fout van 0,008%. De Griekse letter π is pas in 1706 aan het getal gegeven. In de jaren daarna heeft men steeds meer decimalen berekend. Met de komst van de computer ging het rekenwerk veel sneller en zo is in 1999 pi tot op 20.600.000.000 cijfers berekend.

Daniel Tammet, bekend als Brainman, heeft pi uit zijn hoofd opgezegd met 22.514 decimalen!

Wiskunde

Achter het simpele teken gaat diepe wiskunde schuil. Zo is in 1761 bewezen dat pi irrationaal is, dat wil zeggen dat het niet kan worden uitgedrukt in een breuk. In 1882 werd bewezen dat het getal zelfs transcedent is. Wat dat betekent, kun je zelf uitzoeken. De berekening van pi kan op veel verschillende manieren. Er zijn formules voor, zoals de formule van Viète: 

Ook hier zie je dat deze reeks oneindig door gaat. Hoe langer je de reeks maakt, hoe nauwkeuriger de benadering van pi wordt. Daarnaast blijken er verschillende vergelijkingen te kunnen worden afgeleid met daarin het getal e, zoals:

Gebruik

De nauwkeurigheid van pi is nu zo hoog, dat het helemaal niet meer van belang is. Als je een cirkel wil berekenen, neem je pi op je rekenmachine: ongeveer 10 decimalen nauwkeurig. Je zult niet snel met vele miljoenen decimalen nauwkeurig gaan werken, het verschil is immers verwaarloosbaar. De berekeningen van pi worden wel gebruikt om de snelheid van supercomputers met elkaar te vergelijken.

Piphilologie zijn geheugensteuntjes om pi te onthouden. Het zijn zinnetjes waarin het aantal letters in een woord de waarde de decimaal die op die plek staat aanduidt. Een voorbeeld is: "How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics!" 

onderzoeksvragen

Archimedes
Hoe berekende Archimedes de waarde van pi?

reeksen
Is het te bewijzen met behulp van een computer welke reeks pi het snelst berekent?

Transcedentie
Wat heeft de transcendentie van pi voor gevolgen?

pi om ons heen
Hoe is pi terug te vinden in het dagelijks leven?