Natuurkunde

wiskunde en luchtverontreiniging


Inleiding

Allerlei problemen uit de fysica en economie zijn op een wiskundige wijze te formuleren. Zo kunnen we bijvoorbeeld het weer, maar ook de koersveranderingen van aandelen beschrijven met behulp van een wiskundig model. Zo'n model is veelal gebaseerd op zogenaamde differentiaalvergelijkingen. Als we in staat zijn deze vergelijkingen op te lossen, dan kan de weerman zijn weersvoorspelling doen en de portfoliohouder een juiste keuze maken over de aan- of afschaf van een aandelenpakket. In de praktijk zijn de vergelijkingen echter zo complex, dat we hun oplossing niet kunnen bepalen. Wat dan?! De wiskundige probeert zijn vergelijkingen dan te vereenvoudigen om een zo goed mogelijke benadering van de originele oplossing te vinden.

Wiskunde en luchtverontreiniging

In dit profielwerkstuk ben jij de wiskundige. Je opdrachtgever is de overheid. Zij zijn geïnteresseerd in de kwaliteit van de lucht boven Nederland. Aan jou de vraag om een zgn. kleinschalig luchtkwaliteitsmodel te bouwen en een uitspraak te doen over de concentratie van een aantal stoffen (bijvoorbeeld ozon) in de atmosfeer.

Je onderzoeksvragen zouden de volgende kunnen zijn:

Hoe modelleer je de verschillende processen, die van invloed zijn op de kwaliteit van de lucht op een gegeven locatie?

Hoe reduceer je de complexiteit van deze vergelijkingen, als ze te ingewikkeld zijn om direct op te lossen?

In hoeverre wijzigt de uitkomst van je originele vergelijking als je deze uitkomst vervangt met de uitkomst van je vereenvoudigde vergelijkingen?

Geef de opdrachtgever een zo nauwkeurig mogelijk beeld van de concentraties in de atmosfeer op basis van je model en zijn uitkomsten? 


Hoe zou je de modellen realistischer kunnen maken?

In de praktijk werken de wind en de chemie tegelijkertijd in op de concentraties an de verschillende stoffen. Welke andere fysische processen spelen een rol bij de verandering van de concentraties van de stoffen? Zou je deze kunnen modelleren?

De luchtverontreinigingsmodellen zijn in de praktijk veel uitgebreider, de atmosfeer bestaat wel uit honderden stoffen. Exact oplossen van de corresponderende differentiaalvergelijkingen is ondoenlijk. Differentiequotiënten bieden een uitkomst.

Helaas spelen dan vragen op van nauwkeurigheid, rekentijd etc. Bediscussieer de problemen die je kunt verwachten in dat geval als je bijvoorbeeld over een periode van 10 dagen en een afstand van 2000 km een nauwkeurige voorspelling wilt doen.

onderzoeksvragen

Modelleren
Hoe modelleer je de verschillende processen, die van invloed zijn op de kwaliteit van de lucht op een gegeven locatie?

Complexiteit reduceren
Hoe reduceer je de complexiteit van deze vergelijkingen, als ze te ingewikkeld zijn om direct op te lossen?

Verschillende uitkomsten
In hoeverre wijzigt de uitkomst van je originele vergelijking als je deze uitkomst vervangt met de uitkomst van je vereenvoudigde vergelijkingen?

Resulaten
Geef de opdrachtgever een zo nauwkeurig mogelijk beeld van de concentraties in de atmosfeer op basis van je model en zijn uitkomsten?

Realistischere modellen
Hoe zou je de modellen realistischer kunnen maken?

De rol van andere fysische processen
In de praktijk werken de wind en de chemie tegelijkertijd in op de concentraties van de verschillende stoffen. Welke andere fysische processen spelen een rol bij de verandering van de concentraties van de stoffen? Zou je deze kunnen modelleren?

Differentiequotiënten
De luchtverontreinigingsmodellen zijn in de praktijk veel uitgebreider, de atmosfeer bestaat wel uit honderden stoffen. Exact oplossen van de corresponderende differentiaalvergelijkingen is ondoenlijk. Differentiequotiënten bieden een uitkomst.

Te verwachten problemen
Helaas spelen dan vragen op van nauwkeurigheid, rekentijd etc. Bediscussieer de problemen die je kunt verwachten in dat geval als je bijvoorbeeld over een periode van 10 dagen en een afstand van 2000 km een nauwkeurige voorspelling wilt doen.