Onderwijsverbetering vanuit wiskundig perspectief




Onderstaand opiniërend artikel is geschreven dr. ir. Anne-Johan Annema. Dr. ir. Anne-Johan Annema is Associate Professor bij de IC Design Group, CTIT Research Institute, van de Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica (EWI) van de Universiteit Twente. Als docent verzorgt hij de vakken Elektronische Basisschakelingen/Elektronische Functies, is hij lid van de OnderwijsKwaliteitsCommissie EL en nauw betrokken bij allerhande activiteiten op het gebied van onderwijs en de onderwijsorganisatie.

Voor meer informatie over Anne-Johan Annema, zijn activiteiten en publicaties, zie zijn homepage.

Onderwijsverbetering vanuit wiskundig perspectief


Onderwijsverbetering is hot. Als studenten of leerlingen slechte cijfers halen is de meest gehoorde oplossing (door mij in ieder geval) dat het onderwijs beter moet, makkelijker moet, en studeerbaarder moet. Grotere onzin heb ik niet vaak gehoord.

Een van de redenen van lage cijfers is namelijk vaak te weinig uitdagend onderwijs, onderwijs aan de hand van stupide voorbeelden ten koste van inzicht, of gewoon een 5½-mentaliteit. Vooral dat laatste is vaak de doodsteek voor interesse en inzet. Het is veel stoerder om een 5½ te halen dan om uit te blinken en hoge cijfers te halen. Op onderwijsgebied kan je dan vanalles doen, maar als leerlingen het minimum doen om een 5½ te halen dan helpt onderwijsverbetering alleen maar om leerlingen snèller een 5½ te laten halen. Onderwijsverbetering of –vereenvoudiging zorgt er dan primair voor dat leerlingen langer op straat kunnen rondhangen, terwijl het docenten van de straat houdt. Als je dus al onderwijs wilt verbeteren, doe dat dan voor en vooral in de winterperiode.

Beter is het echter om eens even goed te kijken wat onderwijsverbetering nu echt doet. Daar gaat dit artikel over, en wel op een wiskundige manier. Ik heb namelijk een hekel aan al die vage verhalen die

•onderwijskwaliteit meten op basis van data met een grote standaarddeviatie en die

•afhankelijk zijn van vanalles en nog wat, en die

•toch zogenaamd statistisch verantwoorde uitspraken doen.

Wetenschappelijk gezien zijn dergelijke conclusies namelijk kansloos: duidelijke conclusies trekken of überhaupt conclusies trekken op grond van (meet)ruis in afhankelijke systemen is onzin die zelfs in het studiehuistijdperk niet geaccepteerd mag worden.

Het doel van onderwijs

Het doel van onderwijs volgen is voor veel mensen niet geheel duidelijk: vaak wordt het gezien als een verplichting, er immers een leerplicht. Het is echter een recht, en zelfs een voorrecht om onderwijs te mogen genieten, te mogen volgen, te moeten volgen of om ervoor te mogen blokken. Onderwijs is de basis voor de rest van je leven, en kwalitatief goed en uitdagend onderwijs de basis voor een hopelijk daarmee overeenkomend leven. Oppervlakkig gezien lijkt (in de tijd na onderwijs genoten te hebben) het op de situatie in figuur 1a: met de opgedane kennis (leuk) werk uitvoeren, lekker puzzelen en daarmee geld voor de baas verdienen.


Figuur 1a: Simplistische voorstelling van het leven na onderwijs; 1b: iets realistischer voorstelling


Figuur 1b geeft dan een wat realistischer beeld. Het uitvoeren van leuk werk levert behalve geld voor de werkgever ook eigen kennisvergroting op en de baas geeft een gedeelte van de winst terug aan de werknemer. Een nog veel fijnere situatie dus dan in figuur 1a: de werknemer met een goede opleiding wordt op meerdere manieren beloond.

We leven echter in een steeds grotere en internationalere wereld, waarin concurrentie en marktwerking steeds belangrijker wordt. In dat geval kom je er niet meer met (onder)gemiddelde kennis uit het onderwijs, maar moet je echt een toegevoegde waarde hebben voor een werkgever. De fijne en gemakkelijke voorstelling in figuur 1b wordt met concurrentie omgetoverd in de situatie van figuur 2.

Figuur 2: Iets realistische voorstelling van het leven na onderwijs: om er iets mee te kunnen verdienen (geld, kennis, geluk, …) moet je vooral een toegevoegde waarde hebben.


De (meer)waarde van een potentiële werknemer wordt afgewogen aan andere potentiële werknemers, en als de meerwaarde negatief is dan krijgt iemand anders de baan en de eraan verbonden fijne zaken. Klinkt serieus, en dat is het natuurlijk ook, maar de oplossing voor dit mogelijke probleem is simpel: meer kunnen dan anderen, bijvoorbeeld door veel te leren, bijvoorbeeld door goed onderwijs te mogen/moeten genieten. Het doel van goed onderwijs is dus het aanleren van waardevolle kennis en vaardigheden zodat de aldus opgeleide mensen een meerwaarde hebben en daarmee leuk en (be)lonend werk kunnen gaan doen.

Kennis opdoen in onderwijs: een leer-regelsysteem

Centraal in het leren van leerlingen en studenten staat uiteraard het leerproces zelf. Vaak wordt daarbij aangenomen dat een leerling zoveel mogelijk wil leren, en idealiter alle aangeboden lesstof beheerst. Helaas zitten we tegenwoordig opgescheept met het nieuwe leren, en met een wat andere leermentaliteit van het gros van de leerlingen. Hierbij is het doel niet alles leren, of zoveel mogelijk leren, maar het halen van een voldoende. Nou ja, omhoog afgerond een voldoende, een 5½.

Het onderwijs proces van dergelijke (berekenende) leerlingen is dan zoals in onderstaande figuur. De leerling wil een bepaald cijfer halen, maakt een inschatting van de daarvoor benodigde effort , waarmee een bepaald kennis/vaardigheidsniveau wordt bereikt. De omzetting van cijferaanpassing naar te investeren effort wordt voorgesteld door het blokje met overdracht , uiteraard met eenheid . Door op enige manier dit kennis- of vaardigheidsniveau te toetsen kan de leerling de (voor het gewenste eindcijfer benodigde) effort bijregelen. Deze toetsing, in de figuur voorgesteld door de terugkoppeling een factor , van kennisniveau naar een cijfer is essentieel in ieder leerproces. Blijkt uit de toetsing dat de lesstof te goed wordt beheerst: minder inspanning. Als daarentegen blijkt dat je (bijvoorbeeld) de 5½ niet haalt dan kan je gokken op cijferinflatie of normvervaging of je kunt ervoor kiezen om meer inzet te tonen.


Figuur 3: Bij de meeste studiehuisstudenten wordt niet geleerd om zoveel mogelijk te leren, maar om het streefcijfer te halen. Helaas is dat streefcijfer vaak een 5½. In ieder geval ontstaat er een regellus.


In bovenstaande figuur staat een simpel, geabstraheerd, regelsysteem dat het leerproces voorstelt van een calculerende student. Iets verder uitgewerkt staat hetzelfde regelsysteem hieronder. Hierin is het onderwijs en studeren opgedeeld in (gestuurd en gedoceerd door het onderwijs) puzzelen op en proberen te begrijpen van de lesstof, uitgaande van een zekere mate van basiskennis . Door het puzzelen en studeren neemt de kennis toe, en deze dient vervolgens als basiskennis voor verdere studie.


Figuur 4: Iets uitgewerkte versie van figuur 3.


De terugkoppeling van het bereikte niveau van kennis gebeurt met behulp van opgaven, sommen, toetsen, proefwerken, en meer van dat soort zaken. In al deze gevallen krijgt de student of leerling een indicatie van zijn/haar eigen kennisniveau, getoetst aan wat op dat moment gewenst zou zijn. Hierboven staat behalve de terugkoppelfactor b (voor de relatie tussen het cijfer en getoond kennis- of vaardigheidsniveau) ook nog een tijdsvertraging bij omdat het nu eenmaal wat tijd kost om na te kijken en daarna het cijfer aan de studenten of leerlingen mee te delen.

Het is trouwens wel zo dat het maken van toetsten en tentamens en het bijwonen van werkcolleges ook onderdelen kunnen --- en zullen --- zijn van het leerproces zelf, van het blokje “puzzelen, studeren” dus. Niets mis mee vind ik.


Studie-efficiëntie

Iedere docent weet het, iedere student hoort het te weten. Zelfs na iets wat we het studiehuis noemen en waar de leerlingen vooral niet leren studeren. Bij EL (en waarschijnlijk ook bij andere studies) staat het in de standaardstudentendocumentatie:

•studeer stevig in niet te korte en niet te lange periodes

•probeer het geleerde netjes een plaats te geven, te integreren.

Vertaald in wiskundige bewoordingen staat daar eigenlijk dat de Puzzel en Studie Efficiëntie (PSE) een activiteit is met een bandpass-karakteristiek: te kort is niet efficiënt en te lang ook al niet. Uitgaande van een eenvoudig leergedrag is dit te beschrijven met:

waarin:

•de (hoek)frequentie de reciproque van de studeer- en puzzeltijd is (met een factor 2 voor de frequentie-naar-hoekfrequentie omzetting, die het meteen wetenschappelijk laat lijken).

•de factor j is de gebruikelijke in de minder gebruikelijke EL-notatie.

• een factor is die de toename van kennis is per effort-eenheid als er optimaal efficiënt gestudeerd wordt.


Als gebruik wordt gemaakt van deze mathematische beschrijving van de studeerefficiëntie, dan volgt meteen een aantal interessante waarnemingen:

•voor kleine w (voor hele lange onafgebroken studeerperiodes, ordegrootte uren) dat de puzzel- en studeerefficiëntie absoluut gezien klein is, en dat het ook nog eens vrijwel imaginair is. Je hebt er dus geen klap aan, al dacht je van wel...

met

•voor grote w (voor korte studeerperiodes, bijvoorbeeld door veel afleiding, slechte concentratie) hetzelfde: kleine efficiëntie en ook al imaginair:

met

•voor goede w (goede en goed geconcentreerde studeerperiodes) een grote efficiëntie die ook nog eens reëel is.

Figuur 5: Iets uitgewerkte versie van figuur 4.


Studie-kennisopbouw

Bij het leren van een vak, of van een onderdeeltje van een vak, proberen docenten de stof zo te doceren dat de (door leerlingen) ervaren moeilijksheidsgraad nauwelijks varieert gedurende de lesperiode. Simpel gezegd houdt dit in dat je gemakkelijk begint en de moeilijkheidsgraad opschroeft. Dit kan op meerdere manieren:

•bij het (aan)leren van allemaal schijnbaar losstaande onderdelen neemt de hoeveelheid kennis dan in het ideale geval evenredig met de tijd toe. Bij dergelijke vakken zit de totale kennis meer in de breedte dan in de diepgang. Wiskundig is de kennis als functie van de tijd te beschrijven als

•Bij het voortborduren op eerder opgedane kennis zal de kennis niet evenredig met de tijd toenemen maar gerelateerd zijn aan het startniveau. Wiskundig gezien komt er dan iets uit als

Dit is dus een exponentieel verloop, met dus overal een relatief even krom verloop. Het irritante van een dergelijk verloop is dat als je achterom kijkt, het achterliggende vrij vlak (qua kennisniveau) lijkt, maar als je naar voren kijkt alles nogal steil lijkt. In andere woorden: als je het nog moet leren lijkt het moeilijk en als je het eenmaal snapt lijkt het geleerde achteraf nogal eenvoudig. Achteraf geklets inderdaad, maar het maakt het soms wel moeilijk voor een docent om zich te verplaatsen in de gedachtenkronkels van studenten en leerlingen.


Niet alleen in onderwijs heb je dergelijke relaties. Ook in bijvoorbeeld de economie en in verzamelingen zie je dergelijke verbanden. Het marginale nut van een eerste exemplaar van iets is groot, het marginale nut van ieder volgend vergelijkbaar exemplaar neemt sterk af. Niet voor niets koestert Dagobert Duck zijn eerste dubbeltje, en was mijn eerste auto toch wel erg fijn hoewel het objectief gezien niet zo’n geweldige auto was. Genoeg daarover.

Met de hiervoor beschreven twee kennisopbouwmethodes (parallelle kennis of voorbordurend) dient de toetsing hierop aangepast te zijn. De waarderingsfactor b die het kennisniveau vertaalt in een cijfer zal voor beide situaties dan moeten zijn gegeven door:

Waarbij de voorfactoren uiteraard zó gekozen moeten worden dat de situatie “uitmuntend kennisniveau” overeenkomt met een “10”. Het is een misverstand te denken dat “0 fout” overeenkomt met een “10”: het dient iets te zijn als “we hadden niets meer kunnen verwachten van een leerling(e)/student(e) in deze fase van de studie”.


Het leerprocess: vereenvoudigd

Als de frequentieafhankelijkheden en tijdsvertragingen even genegeerd worden, dan is heel eenvoudig uit te rekenen wat berekenende studenten als cijfer halen, uitgaande van voldoende voorkennis en wat leer- en terugkoppelparameters. Dit geldt dus voor de situatie dat er efficiënt gestudeerd wordt. Voor de kennis van de student volgt dan:

resulterend in

Op eenzelfde manier volgt het cijfer dat de student krijgt, , en de effort die de student in het vak steekt, :

Dit zijn misschien wat gekke relaties, maar dat is ten gevolge van de berekenende student: die maakt er een geregeld systeem van, met terugkoppeling dus. Je kunt het ook als een recursief systeem voorstellen waarbij de student sequentieel aanpassingen doet in de studie-inzet om het gewenste cijfer te krijgen en dat geeft hetzelfde antwoord in een andere verschijningsvorm (in een meetkundige reeks namelijk).


Uit bovenstaande relaties volgen wat eenvoudige conclusies:

•Als het enige doel is het gewenste cijfer te halen --- dat wil de student of leerling meestal --- kan dat het beste bereikt worden door efficiënt te studeren en te integreren, en (dat is het belangrijkste) een relatief hoog cijfer te geven voor getoonde kennis. In formulevorm:

Lagere eindtermen, of niveauverlaging of diplomainflatie helpen hierbij. Een methode die ook goed werkt is het leren van voorbeelden en daarop toetsen, of het tegenwoordig bekende formule-zoeken-en-invullen. Dit is de manier die ze volgens mij in Den Haag erg goed beheersen en propageren.

•Als daarentegen het doel is om flink bezig te zijn, dus om een grote te bereiken --- en de enige nuttige toepassing daarvan lijkt mij bezigheidstherapie in bijvoorbeeld de gevangenis --- dan moet er inefficiënt gestudeerd worden en/of moeten de eindtermen onredelijk hoog zijn. Tevens moet het verplicht zijn om het vak te halen omdat anders de drive weg gaat. Dus het vak moet onhaalbaar maar essentieel zijn.

•Het meest nuttige in het kader van een opleiding is de derde variant: veel kennis opdoen. De benodigdheden daarvoor zijn efficient studeren en hoge eindtermen:

Het vergt ook veel inzet () maar levert ook heel wat op, zelfs voor mensen die voor een 5½ gaan. Omdat je voor dat marginale cijfer al veel kennis moet hebben heb ik in dat geval geen probleem met studenten die voor de 5½ gaan.


Onderwijsverbetering in het leer-regelsysteem

In dit hele leer-regelsysteem kan een paar dingen beïnvloed worden door onderwijs en dus door onderwijsverbetering. Als eerste kan de lesstof anders worden aangeboden: makkelijker maken als het niveau te hoog is (vaak zichtbaar aan lage cijfers), moeilijker maken als het niveau te laag is (vaak zichtbaar aan marginale cijfers), makkelijker begrijpbaar als er meer stof doorgejast moet worden. Leerstof makkelijker maken kan trouwens inhouden dat bepaalde leerstof geëlimineerd wordt, dat de stof toegankelijker wordt gemaakt, duidelijker wordt gepresenteerd of gewoon qua niveau aangepast kan worden. Dit alles werkt natuurlijk door in een grotere waarde van in Figuur 5.

Als tweede kan de terugkoppelfactorin al zijn facetten veranderd worden: de norm, de tussentermen of eindtermen van een vak kunnen naar boven of beneden bijgesteld worden. Als laatste mogelijkheid kan de tijdsvertraging tussen het toetsmoment en het bekend maken van de toetsresultaten kan veranderd worden. Dit kan natuurlijk ook overeenkomen met de frequentie waarin getoetst wordt, en de toetsresultaten kenbaar worden gemaakt.


… en wat doet dat nu allemaal?

Onderwijsverbetering is goed. Onderwijsverbetering helpt je meer te leren in dezelfde tijd. Onderwijsverbetering houdt de docent scherp en geïnteresseerd, zeggen ze. Onzin allemaal. Kletspraatjes. Onderwijsverbetering zoals ik die de laatste jaren zie is meestal gedaan om de marginale scores van (studiehuis)leerlingen en studenten te verbeteren, door niveauverlaging en onderwijsdebilisering. Dit soort onderwijsverbetering helpt de huidige (calculerende) leerling en student alleen maar aan meer vrije tijd.

Als wetenschappelijk bewijs daarvoor staan hieronder wat simulatieresultaten van het leerproces van een berekende leerling die een 6 wil halen. Hierbij is de kwaliteit van het onderwijs constant verondersteld, en is een zwak exponentieel toenemend kennisniveau getoetst.



Figuur 6: Het leerproces van een calculerende student (doelcijfer 6) als functie van studietijd
a) cijferverloop als functie van de tijd, gemiddeld 5½
b) de ervaren effort (badkuipvorm) en de kennis als functie van de tijd


De simulaties laten duidelijk zien dat de student netjes zijn/haar effort zodanig bijregelt dat er iets als een 6 uitkomt (iets lager vanwege de eindige lusversterking ). Gemiddeld genomen scoort deze student een 5½ en dus een 6. De effort is aan het begin van het vak iets hoger en wat onregelmatig: gewenningseffecten. Aan het einde van het vak, als het niveau hoog wordt, moet ook even extra gas gegeven worden.

Met een onderwijsverbetering halverwege het vak kunnen er 3 nieuwe situaties ontstaan in het leergedrag, de (ervaren) effort en het uiteindelijke kennisniveau. Hierbij wordt onder onderwijsverbetering de gangbare definitie gebruikt: onderwijsversimpeling. Hieronder staat een grafiek van de 3 situaties bij verbetering met 50% na de 10e dag:




Figuur 7: Het leerproces van een student (doelcijfer 6) als functie van studietijd bij onderwijsverbetering met 50%: voor een niet-calculerende student en voor een calculerende student met en zonder tijdsvertraging in de terugkoppeling


De drie situaties zijn:

•Een niet-calculerende student: deze zal op de oude voet doorgaan met de inzet. Het cijferverloop van een dergelijke student komt overeen met de bovenste curve: de onderwijsverbetering/versimpeling zorgt voor een permanente verbetering in de score van deze student voor het vak.

•Een calculerende student, waarvoor de curve ook na 10 dagen stijgt door het versimpelde onderwijs. Ten gevolge van het calculerende gedrag wordt echter vrijwel meteen de effort teruggeschroefd waarna het cijfer weer aanbelandt op vrijwel het originele niveau. In het eindcijfer zal niets zichtbaar zijn van de onderwijsverbetering of –versimpeling.

•Een calculerende student die --- bijvoorbeeld door late terugkoppeling door de docent --- niet snel zijn effort kan verminderen. De hiermee overeenkomstige curve is diegene met eerst een vlak stuk in het cijfer tussen de 10-e en 12-e dag, daarna een piek omhoog vanwege te grote kennis, waarna bliksemsnel de effort wordt teruggeschroefd; op tijd teruggeschroefd om op een 6 met minimale inzet te eindigen.


De effort en het kennisniveau bij de drie situaties staan hieronder weergegeven. Duidelijk is te zien dat bij calculerende studenten onderwijsverbetering/versimpeling vrijwel niets uithaalt qua eindniveau van de kennis. Alleen de inzet is verminderd. Verder valt op dat het effect van onderwijsaanpassingen vrijwel niet meetbaar is in het eindcijfer. Als je serieus wilt meten moet je meten direct ná invoering ervan, maar voordat studenten doorhebben dat ze anders presteren.



Figuur 8: De effort en de kennisopbouw behorend bij het cijferverloop in
figuur 7.


Daarentegen helpt onderwijsverbetering wel sterk voor de niet calculerende student. Met dezelfde inzet als voor de situatie dat er niets veranderd zou zijn levert (hier) 50% verbetering halverwege het vak aan het eind van dat vak 35% meer kennis op, en een 7,2 in plaats van een 5½.

Conclusies

Onderwijsverbetering is mooi, het is een nobel streven, maar wordt te vaak op de verkeerde manier gedaan. Te vaak is de aanleiding om onderwijs te verbeteren marginale cijfers van leerlingen of studenten, waarna het onderwijs vereenvoudigd of gedebiliseerd wordt. Dit houdt docenten van de straat en zorgt ervoor dat calculerende leerlingen en studenten langer op straat kunnen rondhangen. Als dan vervolgens blijkt dat deze vorm van “onderwijsverbetering” niet werkt blijkt het te vaak tijd voor de volgende ronde vereenvoudigingen. Op deze manier zijn we in Nederland afgezakt van een (internationaal gezien) goed onderwijsniveau tot een inmiddels nogal matig onderwijsniveau.


Onderwijsverbetering is goed als het ingaat en omgaat met de werkelijke oorzaken van magere scores van leerlingen en studenten. Lage scores zijn niet direct te linken aan een te hoog niveau, wel aan inzet en (be)grijpbaarheid van de lesstof. Onderwijsverbetering die je niet direct terugziet in eindcijfers kàn erg goede onderwijsverbetering zijn, maar daar achter komen kost wat meer werk dan dom eindcijfers vergelijken van voor en na de onderwijsaanpassing.

In ieder geval zou onderwijsverbetering voor calculerende studenten en leerlingen moeten voldoen aan een aantal (voor te veel mensen nieuwe) eisen:

•Leer het calculerende gedrag af, of leer het op z’n minst niet aan. Doe iets met uitdagingen en laat zien dat het resultaat van onderwijs nuttig en leuk is. Hierbij is “leuk” dus niet het doel maar een middel.

•Maak leerstof voldoende duidelijk, maar ook voldoende onduidelijk. Te duidelijke leerstof wekt de indruk dat leren niet nodig is: het geeft geen uitdaging. Voldoende onduidelijkheid moet voldoende uitdaging leveren om erover na te denken en het daardoor te leren.

•Leg de lat hoog. Als iedereen met op z’n tenen lopen een 5½ haalt is dat prima als het behaalde kennisniveau hoog is. Omdat een hele periode op je tenen lopen wel eens voor spierpijn kan zorgen, is op je voorvoeten lopen ook prima. Zoals iedereen weet die aan sport doet levert dat betere prestaties en meer flexibiliteit op dan lopen, staan of sjokken. Doe dus vooral aan cijferdeflatie zolang de inzet marginaal of calculerend is. Maak dus misbruik van het calculerende gedrag.

•Geef tussentoetsen met hoge eindtermen, en geef die snel terug. Geef tussentoetsen met gewone of lage eindtermen langzaam terug, of niet terug. Wederom: maak misbruik van het calculerende gedrag.

•Maak onderwijs niet gemakkelijker om ze zogenaamd meer te laten leren: met moeilijker maken bereik je vaak meer. Ga daarbij tot aan het niveau “ambitieus maar haalbaar”, stop niet eerder en ga niet verder. Dit komt vaak neer op balanceren op het slappe koord, of eigenlijk op meerdere slappe koorden tegelijkertijd.


Onderwijsverbetering moet --- zeker bij calculerende studenten en leerlingen --- nooit gemeten worden aan hun cijfers; die zijn namelijk nietszeggend, en fluctuaties daarin zijn eerder toevallig dan te wijten aan het onderwijs. Als wij docenten toch iets menen te moeten gaan doen aan onderwijsverbetering, dan moeten we het onderwijs zeker niet gemakkelijker maken, maar wel leuker, en bij voorkeur door het calculerend gedrag te misbruiken. Qua mentaliteit is er ook veel te winnen, niet uitgaan van “doe maar gewoon, dan doe je al gek genoeg”, maar “doe maar zo goed mogelijk, anders ben je gek”.