Vraag

De secretaresse van Joop Munsterman, de voorzitter van FC Twente, moet heel veel brieven versturen. Maar vier van deze brieven zijn heel speciaal. Dit zijn namelijk brieven aan de heren G. Verbeek, R. Jans, B. van Marwijk en A. Schreuder. In deze brief worden ze uitgenodigd om langs te komen in de Grolsch Veste om zeer belangrijke dingen te bespreken. Voor deze brieven heeft ze al vier speciale enveloppen, met het goede adres erop, klaar liggen. Maar in de haast stopt ze de vier speciale brieven allemaal in een willekeurige speciale enveloppe. Wat is de kans dat de secretaresse van Joop precies één van deze brieven in een foute enveloppe stopt?

De secretaresse moet voor deze belangrijke besprekingen ook wat andere dingen voorbereiden voor Joop. Onder andere met welk been de verschillende spelers van FC Twente schieten. Om hierachter te komen gaat ze langs de trainer. Deze geeft haar een briefje met de volgende gegevens: FC Twente heeft in totaal 60 voetballers onder contract heeft staan. Van deze voetballers is een derde deel in staat om met links te schieten. Eveneens een derde deel is in staat om met rechts te schieten. De helft van de voetballers kan met geen van beide benen schieten.

De secretaresse heeft nu bijna alle gegevens die ze nodig heeft, ze wilt alleen nog weten hoeveel spelers van FC Twente met beide benen kunnen schieten. Dus, hoeveel voetballers van FC Twente kunnen met beide benen schieten?

Antwoord

Eerst kijken we naar de vraag over de enveloppen en de brieven. Als de secretaresse precies één brief in een foute enveloppe stopt, betekend dit dat er drie brieven in de goede enveloppe zitten. Als er van de vier brieven al drie in de goede enveloppen zitten, houden we nog één brief en één enveloppe over. Dit moeten wel een brief en een enveloppe zijn die bij elkaar horen en deze laatste brief kunnen we dus nooit in een foute enveloppe stoppen. De kans dat de secretaresse dus precies één brief in de foute enveloppe stopt is nul! We kunnen dit ook anders beredeneren, namelijk als volgt: Stel de secretaresse doet één brief in een foute enveloppe. Dan zit de brief die eigenlijk in die enveloppe moest in een andere enveloppe. Dus zitten er sowieso twee brieven in foute enveloppen en is de kans dat er precies één brief in een foute enveloppe zit gelijk aan nul!

Dan nu de vraag over voetballers van FC Twente. We kunnen uit de vraag de volgende gegevens halen: In totaal zijn er 60 voetballers. Een derde kan met links schieten, dit zijn er dus 20. Een derde kan met rechts schieten, dit zijn er dus ook 20. Let op! Zowel bij de groep die met links schieten als bij de groep die met rechts schieten zijn er voetballers die zowel met links als met rechts kunnen schieten en dus in beide groepen zitten! De helft kan met geen van beide benen schieten, dit zijn er dus 30.

Als we nou zeggen dat er R voetballers alleen met rechts kunnen schieten, L voetballers alleen met links kunnen schieten, B voetballers met beide benen kunnen schieten en G voetballers met geen van beide benen kunnen schieten. Dan weten we de volgende dingen:

• R+B=20, dit zijn de voetballers die met rechts kunnen schieten.
• L+B=20, dit zijn de voetballers die met links kunnen schieten.
• R+L+B+G=60, dit zijn alle voetballers bij elkaar.

In deze laatste vergelijking kunnen we voor G ook 30 invullen, want dit hebben we uit de vraag gehaald:

R+L+B+30=60, dus R+L+B =60-30=30.

Als we bij deze vergelijking nou is B-B optellen, dan moeten we natuurlijk dezelfde vergelijking overhouden, want B-B is nul en als je ergens nul bij optelt blijft het gewoon hetzelfde.

We krijgen: R+L+B+B-B =30.

Deze vergelijking kunnen we omschrijven tot de volgende: R+B+L+B-B=30, want de volgorde waarin we optellen maakt niet uit, dit geeft geen ander antwoord. In deze vergelijking kunnen we dan onze gevonden getallen invullen voor R+B en L+B: 20+20-B=30.

Dit geeft 40-B=30, dus B=10. Dus er zijn in totaal 10 voetballers van FC Twente die met beide benen kunnen schieten!